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「接線の傾き」は微積分に進む前の基礎として重要だと思うのだけど、なぜかあまりちゃんと説明されていないような気がする【見送り三振おれカネゴン】。
数直線は、整数と有理数と無理数をすべて含んだ「実数」を表すものとして説明されるのだけど、接線の傾きも数直線とまったく同じに実数をくまなく表しているということを最初に説明してカネゴンを安心させて欲しかった【ずっと不安なおれカネゴン】。無限について話をするのはそれが終わってからがいいと思う。
それはそうと、有理数が実は隙間だらけであるということをこんなふうに考えることはできるだろうか。何となく前にも同じことを書いたような気がしないでもないのだけど。
一辺の長さが無限大の、巨大なジャングルジムみたいなものを考える。ジャングルジムの一本一本は恐ろしく細くできていて、横から見た棒の位置が整数を表しているとする。そのジャングルジムによっこらせと入り込み、グラフで言うと(0,0)の原点に当たるところの棒を一本外し、(0,0)の原点きっかりの位置に眼を置いてそこから第一象限の方向を見てみたとする。無限のジャングルジムに仮に明るい外側があるとすると、第一象限の方向はどこを見ても光がくまなく棒に遮られて暗いか、それとも棒の隙間から外の光がいくらでも差し込んできて明るいか。(無限大のジャングルなのにその外があるのかとか、棒がいくら細いとはいえ太さがあるのはいかがなものかとか、ツッコミどころは多々あるのは承知で。)
カネゴン思うに、第一象限の方向は見事に明るいのではないかと思う。横から見た棒の位置が整数なので、原点から見ると、それらの棒の位置は(整数÷整数)となり、あらゆる有理数を表しているはず。有理数を表す棒で第一象限の向こうから来る光をほぼまったく遮れないということから、有理数が隙間だらけであることを(文字通り)違う角度から実感できるのではないかと【トリビア止まりのおれカネゴン】。