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「マチアセビッチ」ではなく「マチャセビッチ」で検索するとWikipedia様が答えてくれた。
1970年にロシアの数学者ユーリ・マチャセビッチによって否定的に解決された[1]。（→計算可能性理論）この証明の副産物として、再帰的に枚挙可能な任意の整数の集合（たとえば素数の集合）には、その要素を整数解とするディオファントス方程式が、かならず存在することが証明されている。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%87%E3%82%A3%E3%82%AA%E3%83%95%E3%82%A1%E3%83%B3%E3%83%88%E3%82%B9%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F
さらに:
素数表現多項式とは，ある多項式で，適切な整数xを選ぶとすべての素数が現れてくるような多項式のことを指します。
実は，変数が1つの場合，2次式ax2+bx+c (今回の問題は b=0, c=0 の場合でした)はおろか ，もっともっと次数を上げていってもそのような多項式は存在しない事が知られています(変数を増やした場合は存在します。つまり，適当に整数の組を入れると ，素数が出てくるような多項式が存在します。)。
http://www.edu.city.kyoto.jp/hp/horikawa/cbbjr/smc/prev01/prev01.htm
NOTE: その後マティヤセヴィッチは素数表現多項式，すなわち，変数に適当な自然数を代入することで全ての素数を表現し，かつ値が正になるときはいつでも素数になる多項式を発見した．最初に (1971 年に ) 彼が発見した素数表現多項式は 24 変数 37 次多項式であったと言う (英訳された彼の論文では 21 変数 21 次多項式に改良されていた )．以下に，P.Jones, D.Sato, H.Wada, D.Wiens が 1976 年に発見した 26 変数 25 次の素数表現多項式を紹介しておく．これは， (私が知る限り ) 唯一の紙面に載せることが可能なサイズの素数表現多項式である．
http://ocw.nagoya-u.jp/files/16/eng_c02_08.pdf
